Principles of Corporate Finance
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위 교재의 내용을 기반으로 정리합니다
개요
지난 시간엔 현재가치와 미래가치에 대해서 알아보았습니다. 이번 시간엔 현재가치를 손쉽게 계산하는 방법에 대해서 알아보겠습니다. 이번엔 다음과 같은 개념을 알아보겠습니다
- Perpetuity(영구연금)
- Annuity(연금)
- Annuity Due(기초 지급연금)
- Present Value shortcut(현재가치 계산 손쉬운 방법)
Perpetuity(영구연금)
영어사전에는 영속성이라고도 나오며 종신연금이라고도 나옵니다. 하지만 통상적으로 종신연금이란 죽을때 까지 나오는 연금이어서 정의가 다릅니다. 좀더 찾아본 결과 영구연금이 가장 맞는 표현으로 보입니다. Perpetuity의 개념은 일정한 금액을 기간에 제한없이 제공하는 것입니다. Perpetuity의 예시로는 콘솔공채(Console)가 있다고 합니다. Perpetuity의 성격을 가졌으니 콘솔공채는 만기가 없겠죠? 그 예시로는 영국 프랑스 전쟁 중 영국이 발행한 콘솔공채(1751년)가 있다고 합니다. 현재까지도 돈을 지불하고 있다고 하네요
우선 영구연금의 현재가치 식을 먼저 쓴 후 밑에서 어떻게 유도하는지 과정을 쓰도록 하겠습니다.
영구연금의 현재가치
매해 C의 현금흐름을 만들며, 이자율이 r일때 영구연금의 현재가치(PV)는
\[ PV = \frac{C}{r} \]
영구연금의 현재가치 식 유도
책에서 항상 강조하는 것 이지만 타임라인을 그려보면 비교적 쉽게 알 수 있습니다. 여기서 1년에 들어오는 자금흐름은 편의상 $1로 계산하겠습니다. 그리고 여기서 기억할 것은 등비수열입니다.
| 1년 | 2년 | 3년 | 4년 | 5년 | 6년 | ... | |
| 현금흐름 | $1 | $1 | $1 | $1 | $1 | $1 | ... |
| 각 현금의 현재가치 |
\($1/(1+r)\) | \($1/(1+r)^2\) | \($1/(1+r)^3\) | \($1/(1+r)^4\) | \($1/(1+r)^5\) | \($1/(1+r)^6\) | ... |
▲영구연금의 현금흐름
| 1년 | 2년 | 3년 | 4년 | 5년 | 6년 | ... | |
| 각 현금의 현재가치 |
\($1/(1+r)\) | \($1/(1+r)^2\) | \($1/(1+r)^3\) | \($1/(1+r)^4\) | \($1/(1+r)^5\) | \($1/(1+r)^6\) | ... |
| 각 현금의 현재가치 *(1+r) |
\($1\) | \($1/(1+r)\) | \($1/(1+r)^2\) | \($1/(1+r)^3\) | \($1/(1+r)^4\) | \($1/(1+r)^5\) |
▲영구연금과 영구연금*(1+r)의 현재가치
따라서
\[PV = \frac{$1}{1+r} + \frac{$1}{(1+r)^2} + \frac{$1}{(1+r)^3} + \frac{$1}{(1+r)^4} + \frac{$1}{(1+r)^5} + \frac{$1}{(1+r)^6} + ... (1)\]
\[(1+r) \times PV = $1 + \frac{$1}{1+r} + \frac{$1}{(1+r)^2} + \frac{$1}{(1+r)^3} + \frac{$1}{(1+r)^4} + \frac{$1}{(1+r)^5} + \frac{$1}{(1+r)^6} + ... (2)\]
위와같은 식이 성립하는 이유는 현금흐름이 무한한 구간에 걸쳐있기 때문입니다. 이제 \((2) - (1) \)을 하면
\[r \times PV = $1\]
\[ \therefore PV = \frac{$1}{r} \]
여기서 $1은 현금흐름(C)였기 때문에 일반화 식으론 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
\[ PV = \frac{C}{r} \]
연금
연금은 다들 아시는 개념이라고 생각합니다. 여기서 연금은 특정 기간동안 일정한 금액을 지불하는 것으로 생각하면 됩니다. 가장 일반적으로 만나볼 수 있지요. 채권, 무이자 할부 등이 여기에 속한다고 볼 수 있습니다.
연금의 현재가치
여기서도 연금의 현재가치 식을 먼저 쓴 후 유도해보도록 하겠습니다.
현금흐름을 C, 이자율을 r, 그리고 현금 지급기간을 t라고 할때, 내년 말 부터 현금을 지급하는 연금의 현재가치(PV)는
\[PV = C \times [\frac{1}{r} - \frac{1}{r \times (1+r)^t}]\]
연금의 현재가치 유도
연금가치를 설명하기에 앞서 지연된 영구연금(Delayed perpetuity)에 대해 살펴보겠습니다. 위에서 1년후 부터 현금흐름을 만들어내는 영구연금의 가치에 대해서 알아봤습니다. 하지만 만약, 영구 연금이 4년뒤 부터 현금흐름을 만든다면 어떻게 될까요? 아래의 표를 살펴보겠습니다.
| 1년 | 2년 | 3년 | 4년 | 5년 | 6년 | ... | |
| 현금흐름 | - | - | - | $1 | $1 | $1 | ... |
| 각 현금의 현재가치 |
- | - | - | \($1/(1+r)^4\) | \($1/(1+r)^5\) | \($1/(1+r)^6\) | ... |
▲4년 뒤부터 현금흐름을 만드는 영구연금의 현금흐름
현금흐름을 할인해서 계산한다면
\[PV_4 = \frac{$1}{(1+r)^4} + \frac{$1}{(1+r)^5} + \frac{$1}{(1+r)^6} + ... (1)\]
\[(1+r) \times PV_4 = \frac{$1}{(1+r)^3} + \frac{$1}{(1+r)^4} + \frac{$1}{(1+r)^5} + \frac{$1}{(1+r)^6} + ... (2)\]
\[(2)-(1) = r \times PV_4 = \frac{$1}{(1+r)^3}\]
\[ \therefore PV_4=\frac{$1}{r \times (1+r)^3} \]
이를 일반화 해서 표현한다면, 즉 t년 후 연말부터 현금흐름을 만들고 이때 현금흐름을 C라고 할때 영구연금의 현재가치는
\[ PV_t = \frac{C}{r \times (1+r)^\text{t-1}} \]
입니다.
위와같이 같은 개념을 지연된 영구연금(delayed perpetuity)이라고 합니다. 그럼 왜 지연된 영구연금을 알아야 할까요? 바로 영구연금과 지연된 영구연금만큼 값을 빼면 연금의 현재가치를 알 수 있기 때문입니다
| 1년 | 2년 | 3년 | 4년 | 5년 | 6년 | ... | |
| 영구연금 | \($1/(1+r)\) | \($1/(1+r)^2\) | \($1/(1+r)^3\) | \($1/(1+r)^4\) | \($1/(1+r)^5\) | \($1/(1+r)^6\) | ... |
| 지연 영구연금 |
- | - | - | \($1/(1+r)^4\) | \($1/(1+r)^5\) | \($1/(1+r)^6\) | |
| 3년 연금 | \($1/(1+r)\) | \($1/(1+r)^2\) | \($1/(1+r)^3\) |
▲영구연금,지연된 영구 연금, 3년 연금의 현재가치
위의 3가지를 각각 기호로 표시하고 3년 연금의 가치를 계산해보겟습니다
\[ PV_\text{P} = \text{영구연금, }PV_\text{P4} = \text{4년 지연 영구연금}, PV_\text{A} = 3년 연금 \]
그리고 앞에서 각각에 대한 현재가치를 계산했습니다 다시 적는다면
\[ PV_P = \frac{$1}{r}\]
\[ PV_\text{P4}=\frac{$1}{r \times (1+r)^3} \]
그리고 영구연금, 지연된 영구 연금, 3년 연금의 현재가치 표를 보면, 3년 연금의 현재가치는 영구연금에서 지연영구연금을 뺀 값이라는 것을 알 수 있습니다. 따라서 따라서 3년 연금의 현재가치는 다음과 같습니다
\[PV_\text{A} = PV_P - PV_\text{P4}\]
\[PV_\text{A} = \frac{$1}{r} - \frac{$1}{r \times (1+r)^3}\]
따라서 t기간 동안 지급, 이자율 r, 현금흐름 C인 연금의 현재가치를 일반화 해서 쓴다면
\[PV = C \times [\frac{1}{r} - \frac{1}{r \times (1+r)^t}]\]
으로 쓸 수 있습니다. 이때 \[\frac{1}{r} - \frac{1}{r \times (1+r)^t}... \text{Annuity Factor} \]
라고 합니다. 위의 부분을 Annuity Factor라고 합니다.
기초 연금(annuity due)
앞의 개념들을 처음 접했다면 이해하기 다소 복잡할 수 있습니다. 하지만 한 두번 직접 써본다면 이해하실 수 있을 겁니다. 기초 연금은 연금의 확장판으로 생각하시면 됩니다. 연금이 현재 시점으로 부터 다음해 말 부터 현금흐름을 만든다면 기초연금은 그 해부터 현금흐름을 만들어 냅니다. $1에 대해 연금과 기초연금의 현재가치를 표현하면 다음과 같습니다.
| 0년 | 1년 | 2년 | 3년 | 현재가치 | |
| 3년 연금 | \($1/(1+r)\) | \($1/(1+r)^2\) | \($1/(1+r)^3\) | \[PV = \frac{$1}{r} - \frac{$1}{r \times (1+r)^3}\] | |
| 3년 기초연금 | $1 | \($1/(1+r)\) | \($1/(1+r)^2\) | - | \[PV = \frac{$1\times(1+r)}{r} - \frac{$1}{r \times (1+r)^2}\] |
▲3년 연금과 3년 기초연금.
위와 같이 표현이 가능합니다. 오른쪽 끝에 보시면 연금과 기초연금의 현재가치의 차이는 (1+r)을 곱한만큼 차이가 나는것을 볼 수 있습니다. 다시 쓰면 기초연금의 현재가치는 연금의 현재가치에 (1+r)만큼 곱한 값이 됩니다.
\[PV = C \times (1+r) \times [\frac{1}{r} - \frac{1}{r \times (1+r)^t}]\]
끝맺으며
오늘은 현재가치를 쉽게 계산하는 방법에 대해서 알아봤습니다. 현실의 재무와 연관된 문제들은 훨씬 복잡하지만, 기초를 이해해야 그로부터 응용될 것 입니다. 저도 정리를 하며 개념들을 좀 더 확실히 알 수 있었습니다. 글을 보신분들에게도 도움이 되었길 바라며, 유용했다면 좋아요 한번씩 부탁드립니다
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